Tecnologie alimentari
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Trasporto dei fluidi

Viscosità

La viscosità è una misura di quanto "appiccicoso" è un fluido. Essa misura la resistenza che un fluido oppone alle forze che tendono a farlo scorrere. Tale resistenza è il risultato delle forze molecolari di coesione.

Quando una forza viene applicata ad un fluido, il fluido inizia a scorre con una certa velocità. La velocità è massima lontano dalle pareti. Invece, la velocità tende a zero avvicinandosi alle pareti. La variazione di velocità che si osserva prende il nome di gradiente di velocità. Questo gradiente si esprime come:

$$ \text{gradiente di velocità} = \dfrac{dv}{dz} $$

Per aumentare tale gradiente occorre esercitare uno sforzo. All'aumentare dello sforzo, corrisponde un piè elevato gradiente di velocità. Tuttavia, occorre notare che, applicando il medesimo sforzo a fluidi diversi (per esempio, acqua, miele e olio), questi scorrono con velocità diverse e, pertanto, anche gradienti di velocità diversi. Il moto di un fluido dipende, quindi, oltre che dall'intensità della forza che si esercita sulla superficie del fluido, anche una caratteristica intrinsaca del mezzo fluido. Questa caratteristica prende il nome di viscosità ($\mu$). Essa si esprime come:

$$ \mu = \dfrac{\text{sforzo}}{\text{gradiente di velocità}} = \dfrac{\tau}{\dfrac{dv}{dz}} $$

dove:

Il comportamento dei fluidi in moto, ovvero soggetti ad un certo sforzo, è alla base della scienza nota come reologia. La viscosità è la variabile oggetto degli studi reologici.

L'equazione che descrive il comportamento reologico dei fluidi prende il nome di equazione di Newton e si scrive come:

$$ \tau = \mu \cdot \gamma $$

dove:

Lo sforzo di taglio è una forza applicata ad una superficie, ovvero, una pressione:

$$ \tau = \dfrac{F}{A} = P$$

Pertanto, le unità di misura dello sforzo di taglio sono Pascal o $kg / m \cdot s^2$.

Il gradiente di velocità che si crea all'interno di un fluido, in prossimità della parete, è il rapporto tra una velocità e una lunghezza:

$$ \gamma = \dfrac{dv}{dx} $$

Le unità di misura del gradienti di velocità sono quelle di una frequenza, ovvero, $s^{-1}$.

Esempi di gradienti di velocità riscontrabili durante la manipolazione degli alimenti sono riportati nella tabella seguente.

Process Shear rate range Application
Sedimentazione $10^{-3} - 10^{-6} $ Spezie nelle salse
Estrusione $10^{0} - 10^{3} $ Snack foods
Miscelazione $10^{1} - 10^{3} $ Salse, bevande, creme
Trasporto in condotti $10^{0} - 10^{3} $ Salse, bevande, creme

La viscosità, pertanto, si esprime come rapporto tra lo sforzo di taglio e il gradienti di velocità:

$$ \mu = \dfrac{\tau}{\gamma} $$

L'unità di misura della viscosità è il Poiseuille (PI), ovvero:

$$ \dfrac{kg}{m \cdot s^2} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{s}} = \dfrac{kg}{m \cdot s} = Pa \cdot s$$

Unità di misura non più ufficiali ma ancora usate nella pratica è il poise. Il poise = 0.1 poiseuille. L'acqua ha una viscosità di 1 centipoise (cP), ovvero $1 mPa \cdot s$.

Classificazione dei fluidi

I fluidi vengono classificati in base a come varia la loro viscosità in funzione di diversi gradienti di velocità. In particolare, i fluidi si distinguono in:

Nei fluidi Newtoniani, vale ovviamente l'equazione di Newton. Pertanto, lo sforzo di taglio è varia linearmente con il gradiente di velocità. In altri termini, la viscosità è una costante. Essa non varia al variare dalla velocità con cui fluisce.

Esempi di alimenti che si comportamento come fluidi Newtoniani sono generalmente i liquidi diluiti, come acqua, succhi di frutta, vino e latte.

Nei fluidi non-Newtoniani, invece, l'equazione di Newton non vale. Lo sforzo necessario per far muovere il fluido è diverso a seconda della velocità con cui il fluido si muove. In latri temrini, la viscosità nei fluidi non Newtoniani non è più una costante, ma varia al variare del gradiente di velocità.

In particolare, si possono osservare almeno quattro tipologie diverse di comportamento non Newtoniano, ovvero di un comportamento reologico che devia da quello Newtoniano. Tali comportamenti sono noti come:

I fluidi pseudoplastici sono quelli in cui la viscosità diminuisce all'aumentare del gradiente di velocità applicato. In altri termini, lo sforzo necessario per far muovere un fluido con questo tipo di comportamento è relativamente inferiore ad alti regimi di flusso. L'equazione che rappresenta questo comportamento è la seguente:

$$ \tau = k \cdot \gamma^n$$

dove:

I fluidi plastici di Bingham seguono un comportamento newtoniano ma solo dopo che lo sforzo ha superato un certo valore soglia ($\tau_0$), che prende il nome di limite di scorrimento. Superato questo valore, il fluido si comporta come Newtoniano. L'equazione che rappresenta questo comportamento è l'equazione di Bingham:

$$ \tau = \mu \cdot \gamma + \tau_0 $$

I fluidi plastici di Casson seguono un comportamento non-newtoniano ma, analogamente a quelli di Bingham, richiedono per fluire uno sforzo iniziale ($\tau_0$). Superato questo valore soglia, questi fluidi si comportano come fluidi pseudoplastici. L'equazione che rappresenta questo comportamento è l'equazione di Casson:

$$ \tau = \mu \cdot \gamma^n + \tau_0 $$

Lo sforzo di taglio soglia prende il nome inglese di yield stress. Un tipico esempio di alimenti con comportamento plastico di Casson è il ketchup.

I fluidi dilatanti sono invece dei fluidi la cui voscisità apparente aumenta all'aumentare del moto. Anche in questo caso, l'equazione che descrive il fenomeno è simile alle precedenti, sebbene in questo caso il valore di $n > 1$:

$$ \tau = \mu \cdot \gamma^n $$

Un tipico esempio di alimenti con comportamento dilatante è sono le miscele di amido.

Infine, il moto dei fluidi si distingue anche per come varia la voscosità in funzione del tempo. I fluidi le cui proprietà dipendono dal tempo possono essere classificati in:

I fluidi tissotropici presentano una struttura che si disgrega gradualmente per effetto di uno sforzo tangenziale, quindi presentano una diminuzione di viscosità nel tempo. Se in movimento, tali sostanze aumentano la loro fluidità passando da uno stato pastoso allo stato liquido; tale comportamento è reversibile e la struttura si ricostruisce gradualmente in condizioni di riposo. Questo comportamento è comune a molti fluidi alimentari complessi, come per esempio alcune salse, la besciamella, lo yogurt e le confetture.

Nei fluidi reopectici al contrario si verifica la graduale formazione di una struttura sotto l'azione di agitazione, quindi un aumento della viscosità o consistenza nel tempo. Un esempio di alimento con comportamento reopectico è la panna montata, che inizialmente è un fluido liquido, ma che sotto agitazione diventa una schiuma densa e compatta.

Moto laminare e turbolento

In base alla velocità con cui scorre un fluido possiamo ottenere due tipologie di moto:

Questa distinzione ha notevoli implicazioni nella pratica. Specialmente nelle operazioni di scambio termico, un fluido che si muove con moto laminare richiede pi&uegrave; tempo per riscaldarsi rispetto allo stesso fluido che si muove di moto turbolento.

Il tipo di moto che asusme un fluido in un condotto dipende sicuramente dalla sua velocità. Tuttavia, a parità di velocità media, i fluidi con maggiore viscosità tenderanno a muoversi con moto laminare. Inoltre, a parità di velocità media e di viscosità, un fluido se fatto scorrere in un tubo con diametro molto piccolo avrà più difficoltà a muoversi con moto turbolento. Queste esperienze hanno portato alla seguente relazione nota con il nome di numero di numero Reynolds, che permette di predire il tipo di moto di un fluido:

$$ Re = \dfrac{\rho \cdot \bar{v} \cdot d}{\mu} $$

dove:

Con esperimenti empirici è stato stabilito che per numeri di Reynolds maggiori 4.000, il tipo di moto di un fluido è turbolento. Per valori inferiori a 2.000, il moto è laminare.

Per esempio, se dell'acqua fluisce in un condotto di 50 mm di diametro, con una portata di 1 $m/s$ e sapendo che la viscosità vale 0.001 $Pa \cdot s$, il numero di Reynolds vale:

$$ Re = \dfrac{1000 \cdot 1 \cdot 0.050}{0.001} = 50.000$$

Il moto è pertanto turbolento.

Equazione di Bernoulli

Un fluido che scorre lungo un condotto è soggetto ad almeno tre forme di energia:

L'energia meccanica è il lavoro di pressione che viene esercitato per esempio da una pompa per spostare il mezzo fluido. Tale forma di energia viene misurata mediante la seguente espressione:

$$E_M = P \cdot V$$

L'energia cinetica è invece l'energia posseduta dal fluido durante il suo movimento. Tale forma di energia viene misurata mediante la seguente espressione:

$$E_K = \dfrac{1}{2} m \cdot \bar{v}^2$$

L'energia potenziale è, invece, l'energia posseduta dal mezzo fluido in base alla sua altezza. Tale forma di energia viene misurata mediante la seguente espressione:

$$E_P = m \cdot g \cdot h $$

In ogni punto di un condotto, un fluido possiede tutte queste forme di energia, la cui somma deve essere costante:

$$E_K + E_P + E_M = cost.$$

Esplicitando, si ottiene la nota forma dell'equazione di Bernoulli:

$$\dfrac{1}{2} m \cdot \bar{v}^2 + m \cdot g \cdot h + P \cdot V = cost.$$

L'equazione di Bernoulli può esprimersi anche sotto forma di altezze:

$$\dfrac{\bar{v}^2}{2 \cdot g} + h + \dfrac{P}{\rho \cdot g} = cost.$$

L'applicazione dell'equazione di Bernoulli permette di dimensionare un impianto di trasporto di fluidi alimentari, determinando, in sostanza, la potenza della pompa necessaria per svolgere l'oprazione:

Per esempio, si voglia trasferire 10 ton di acqua da un serbatoio ad un altro, posto 5 m più in alto. Si assuma una portata di 1 m/s, e tubazioni di 0.05 m di diametro che si snodano per 30 m. Si desidera stimare la potenza necessaria per eseguire l'operazione entro 1 ora.

Una prima stima può essere ottenere utilizzando l'equazione di Bernoulli aplicata tra i due serbatoi:

$$\dfrac{1}{2} m \cdot \bar{v_1}^2 + m \cdot g \cdot h_1 + P_1 \cdot V_1 = \dfrac{1}{2} m \cdot \bar{v_2}^2 + m \cdot g \cdot h_2 + P_2 \cdot V_2 $$

Si nota che:

Con queste considerazioni, l'equazioni di Bernouilli si semplifica a:

$$ E = m \cdot g \cdot (h_2 - h_1) $$

Ovvero:

$$ E = 10.000 kg \cdot 9.8 \dfrac{m}{s^2} \cdot 5 m = 967.5 kJ$$

La potenza necessaria viene calcolata dividendo l'energia richiesta per il tempo:

$$ Power = \dfrac{967500}{3600} = 268.75 W$$

In pratica, occorre considerare che il rendimento della pompa. Questo non è mai del 100%. Assumendo un rendimento del 60%, la potenza richiesta è pari a:

$$ Power = \dfrac{268.75}{0.6} = 448 W$$

In realtà la potenza necessaria per svolgere l'operazione è maggiore inquanto occorre tenere in considerazione anche le perdite di carico che si generano durante il flusso a causa dell'attrito con le pareti e a causa della presenza di raccordi, valvole e tubi a gomito.

Perdite di carico continue

Le perdite di carico continue sono delle dissipazioni di energia dovute all'attrito del fluido con le pareti della tubazione. Tali perdite dipendono dal moto del fluido e saranno tanto maggiori tanto più turbolento sarà il flusso. La stima delle perdite di carico continue richiede quindi la stima del numero di Reynolds e si basa sull'equazione di Hagen-Poiseuille per regimi laminari:

$$ h_f = \Delta{P} = \dfrac{32 \cdot \mu \cdot \bar{v} \cdot L}{d} $$

Per regimi turbolenti, invece, le perdite di carico si stimano con la seguent relazione:

$$ h_f = \Delta{P} = 2 \cdot f \cdot \dfrac{\rho \cdot \bar{v}^2 \cdot L}{d}$$

in cui il fattore $f$ è un fattore di attrito che può stimarsi con l'equazione di Blasius per regimi turbolenti:

$$ h_f = 0.0792 \cdot Re^{-0.25} $$

Con i dati dell'esempio precedente è possibile determinare il numero di Reynolds:

$$Re = \dfrac{\rho \cdot \bar{v} \cdot d}{\mu} = \dfrac{1.000 \cdot \bar{1} \cdot 0.05}{0.001} = 50.000$$

Il regime è sicuramente turbolento. Allora, il fattore di attrito per perdite di carico continue si determina attraverso l'equazione di Blasius:

$$f = 0.0791 \cdot Re^{-0.25} = 0.0052$$

Noto il fattore di attrito è quindi possibile stimare le perdite di carico:

$$ h_f = \Delta{P} = 2 \cdot 0.0052 \cdot \dfrac{1.000 \cdot \bar{1}^2 \cdot 30}{0.05} = 6.240 Pa$$

Questa perdita di carico si traduce in una maggiore energia che dovrà essere erogata dalla pompa:

$$ E = P \cdot \dfrac{m}{\rho} = 6.240 \dfrac{10.000}{1.000} = 62.40 J $$

Perdite di carico locali

Oltre alle perdite di carico continue, la presenza di raccordi, valvole e curve a gomito, aumenta la resistenza al flusso. L'energia richiesta per vincere questa resistenza deve essere sommata a quella richiesta dalla pompa. Come prima stima, è possibile assumere che le pedite di carico locali rappresentano il 10% dell'energia richiesta per il trasporto del mezzo fluido.